SISTEMA Nº 1

 

RESUELVE EL SIGUIENTE SISTEMA POR EL MÉTODO DE GAUSS

Para resolver este sistema mediante el método de gauss debemos seguir los siguientes pasos:

Primer paso (ordenar las ecuaciones)

Las ordenamos según el número que multiplica a la variable x (dicho número se denomina coeficiente de la x). Nos interesa colocar como primera ecuación aquella cuyo coeficiente de la x sea uno, o en su defecto el número más bajo.

Segundo paso (anular el coeficiente de la x de la 2 y 3 ecuación)

El objetivo del método de Gauss es conseguir un sistema equivalente al nuestro (esto es, que tiene la misma solución), pero escalonado. Decimos que un sistema es escalonado cuando en una ecuación tenemos una única incógnita, en otra ecuación dos incógnitas y en la tercera ecuación tres incógnitas.

Un sistema escalonado es fácil de resolver, pues de la ecuación con una sola incógnita podemos despejar esta, y sustituirla en la ecuación con dos incógnitas. De esa forma dicha ecuación pasara a tener una única incógnita que despejaremos. Con dos incógnitas ya resueltas, sustituimos sus valores en la ecuación con las tres incógnitas, y despejamos la incógnita que falta. 

Para transformar nuestro sistema en un sistema escalonado debemos anular los coeficientes de la x (números que multiplican a las x) en la segunda y tercera ecuación. Para lograrlo usaremos la primera ecuación. Si el coeficiente de la ecuación que queremos transformar coincide en signo con el coeficiente de la x de la primera ecuación restaremos las ecuaciones, y son de signos opuestos sumaremos las ecuaciones. Antes de sumar o restar las ecuaciones multiplicaremos la primera ecuación por el coeficiente sin signo de la ecuación a transformar. El resultado de esa suma (o resta) sustituirá a la ecuación a transformar.

Luego sustituimos la ecuación dos en nuestro sistema por esta ecuación: 

Así pues el sistema equivalente es:

Repetimos el proceso con la tercera ecuación:

En este caso los coeficientes de la x de la primera y la tercera ecuación son los dos positivos, así pues restamos las ecuaciones, tras multiplicar la primera ecuación por tres por ser este el coeficiente de la tercera ecuación.

La ecuación resultante sustituye a nuestra tercera ecuación:

Ahora si nos fijamos veremos que nuestro nuevo sistema ya es un sistema escalonado. La segunda ecuación tiene una única incógnita (y). La tercera ecuación dos incógnitas (y, z) y la primera ecuación las tres incógnitas.

En la segunda ecuación despejamos el valor de la incógnita y

En la tercera ecuación sustituimos la y por su valor y despejamos la x:

Y por último en la primera ecuación sustituimos las dos incógnitas ya resueltas y resolvemos la incógnita restante.

Tercer paso (comprobar el resultado)

Para comprobar que no hemos cometido un error durante el proceso debemos comprobar nuestro resultado. Para eso volvemos al sistema original:

Y debemos sustituir las variables en las tres ecuaciones. Obviamente si se cumplen las tres ecuaciones significa que lo hemos resuelto correctamente. En caso contrario deberemos revisar en busca del error.

Nuestra solución   x=1    y=2     z=3

Como las tres ecuaciones se cumplen nuestro sistema está bien resuelto.